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Théorie des jeux, défauts de coordination et désistement aux municipales

Rédigé par Simon
     A l’issu du premier tour des élections municipales dimanche dernier, certaines villes menacent de tomber aux mains de l’extrême droite. La défense des valeurs républicaines devrait alors inciter les responsables politiques à adopter la stratégie du désistement : c’est à dire, lors de triangulaires (serrées avec l’extrême droite), à appeler à voter pour le candidat républicain, de droite comme de gauche, en meilleure position pour l’emporter. Sans quoi il existe un risque de défaut de coordination qui m’a rappelé quelques jeux standards de théorie des jeux, dont je voulais parler ici.
     Néanmoins, certains responsables politiques nationaux (notamment à droite), d’une mauvaise foi ou d’une malhonnêteté sans nom (au choix), se sont montrés hésitant quant à cet stratégie. Un argument parfois évoqué était : « les électeurs sont adultes » autrement dit, « s’ils veulent faire barrage à l’extrême droite ils le feront d’eux même ; pas besoin de désistement ou qu’on leur indique pour qui voter ».
     Pour qui a fait un peu de théorie des jeux et a entendu parler du théorème de Coase, cet argument ne tient pas franchement la route ; un risque de défaut de coordination étant toujours probable. Voici pourquoi, en trois cas de figure.
1) Cas n°1. Les électeurs votent sans dispositif de coordination : théorie des jeux, bataille des sexes, et défaut de coordination. 
     Soit une ville V qui menace de tomber aux mains de l’extrême droite, au cours d’une triangulaire. Dans cette ville, 3 électeurs préfèrent le candidat d’extrême droite à tout autre candidat. Deux électeurs préfèrent le candidat de droite, et 2 celui de gauche. Ces quatre électeurs souhaitent à tout prix éviter l’élection du candidat d’extrême droite : s’ils se coordonnent pour porter leur voix sur un seul candidat (candidat G ou D pour gauche et droite), celui sera élu (4 voix contre 3). Le problème, c’est de se coordonner. Autrement dit, les électeurs prennent leur décision simultanément dans les bureaux de vote, au moment de choisir pour qui ils vont voter. Ils font donc face à la matrice de jeu suivante :
Figure - gameelection
     Les choix des électeurs de droite sont représentés en colonne : voter pour le candidat de droite (D) ou de gauche (G). Même chose pour les électeurs de gauche, dont les choix (G et D) sont représentés en ligne.
     Si les électeurs votent tous pour le candidat G, alors les électeurs de gauche retirent une satisfaction égale à 2 car leur candidat préféré est élu (premier chiffre dans la case en haut à gauche de la matrice). Les électeurs de droite, eux, retirent une satisfaction égale à 1 (deuxième chiffre dans la case en haut à gauche) : leur candidat préféré n’est pas élu, certes, mais ils ont fait barrage à l’extrême droite, d’où une certaine satisfaction.
     De même, si tout le monde choisit le candidat de droite D (case en bas à droite), les gains sont inversés : les électeurs de droite obtiennent 2 et ceux de gauche obtiennent 1.
     S’ils ne parviennent pas à se coordonner (par exemple les électeurs de gauche vote pour le candidat de gauche et ceux de droite pour le candidat de droite), alors ils subissent tous une pénalité de -1 car le candidat d’extrême droite est élu. Ce jeu classique est aussi appelé Bataille des sexes.
     Quelle peut bien être l’issue de ce jeu ? Impossible de le prédire. Pour chaque électeur (à droite ou à gauche), il n’y a pas de stratégie dominante c’est à dire pas de stratégie de vote qui lui assure à coup sûr le gain le plus élevé, quelle que soit la stratégie des autres électeurs. Ainsi, pour un électeur de gauche, même voter pour le candidat de gauche présente un risque : si les électeurs de droite votent à droite, alors l’extrême droite l’emporte et la pire situation se produit.
     Il y a dans ce jeu deux équilibres de Nash (prix Nobel en 1994) (c’est à dire des équilibres stables : sachant ce que l’autre a joué, je n’ai pas intérêt à changer ma stratégie) : lorsque les quatre électeurs votent pour le candidat de gauche, et quand les autres électeurs votent pour le candidat de droite. Plus simplement, les deux équilibres de ce jeu correspondent aux deux cas de figure où les électeurs parviennent à se coordonner, et votent tous pour le même candidat. Le problème, comme je l’ai dit dans le paragraphe précédent, c’est que rien n’assure que l’on atteindra effectivement un de ces deux équilibres (puisque toute stratégie dans ce jeu comporte un gros risque).
     Il existe un troisième équilibre de Nash dans ce jeu, dit en « stratégie mixte » : on pourrait l’expliquer en disant que, ne sachant pas comment choisir, les électeurs lancent un dé pour choisir le candidat pour qui ils vont voter. Ainsi, un électeur de gauche va voter pour G avec une certaine probabilité pG, et pour D avec une probabilité 1-pG. Un électeur de droite va voter pour le candidat de droite avec une probabilité pD et pour le candidat de gauche avec une probabilité 1-pD.
     On peut calculer ces probabilités (à partir de cet exemple fictif) : dans ce jeu, pG = 3/5  et pD = 3/5. Cela veut dire que les électeurs parviennent à se coordonner uniquement avec une probabilité de 3/5 * 2/5 + 3/5 * 2/5 = 12/25  (soit moins de 50% de chance de se coordonner et de faire effectivement barrage). Autrement dit, sans moyens de se coordonner, dans plus de 50% des cas (dans cette illustration), les joueurs ne parviennent pas à se coordonner et le candidat d’extrême droite est élu.
     Mais, après tout, peut être que les responsables politiques se disent que les électeurs vont trouver un moyen de se coordonner, négocier, communiquer et ainsi, par eux même, d’atteindre un des deux équilibres souhaitables. C’est possible lorsqu’il existe un point focal dans ce jeu (c’est a dire un équilibre qui semble évident aux yeux des électeurs ; par exemple si deux inconnus doivent se retrouver dans paris sans communiquer ils se rendront sans doute aux pieds de la Tour Eiffel). Mais en l’absence de point focal, le problème de coordination subsiste.
2) Cas n°2. Les électeurs tentent de créer une réunion de coordination : le paradoxe de l’action collective en action
     Une solution pour les électeurs de droite et de gauche de la ville V est de se réunir à la salle des fêtes, et de décider d’une coordination de leur vote. A la fin, tout le monde y gagnerait. Le problème, c’est celui du paradoxe de l’action collective, exposé par Mancur Olson dans les années 1960. On pourrait l’exposer comme cela :
– plusieurs individus souhaitent défendre la même cause
– si tout le monde se mobilise, la cause est défendue
– si un individu ne se mobilise pas, mais que tous les autres se mobilisent, la cause est quand même défendue
– cet individu (que l’on appelle passager clandestin) obtient un gain supérieur aux autres : en effet, il ne se mobilise pas (il évite de payer le coût de la mobilisation : par exemple se déplacer à la salle des fêtes et rater un épisode de sa série préféré), et en plus la cause à laquelle il tient est quand même défendue
– Résultat : tout le monde adopte la stratégie du passager clandestin, et la cause n’est pas défendue.
     C’est très exactement ce qu’il risque de se passer dans la ville V, personne ne se rendant à la réunion des électeurs. Olson mentionne plusieurs solutions à ce problème : ou bien il existe des individus (mettons, des responsables politiques nationaux) qui disposent de suffisamment de ressources organisationnelles pour mener à bien la mobilisation et défendre la cause ; ou bien, il faut inciter les individus à se mobiliser (donner des incitations privées à chacun), comme par exemple offrir un tee-shirt à tout participant.
3) Cas n°3. Les électeurs parviennent à mettre en place la réunion : le Théorème de Coase en action
     Bon, mettons un instant que effectivement, tous les électeurs de droite et de gauche parviennent à se mobiliser et à organiser cette réunion de coordination de vote où tout le monde est présent. Est-ce la meilleure solution ?
     C’est possible. Ronald Coase (prix Nobel d’économie en 1991) a travaillé sur la question des coûts de transaction, ce que l’on pourrait définir comme des coûts de contractualisation ou plus simplement des coûts de négociation. Son théorème (en fait c’est un autre économiste, Stigler, qui lui a donné ce nom) stipule que dans un environnement où les droits de propriété sont bien définis et où les coûts de transaction sont nuls, la négociation directe entre plusieurs parties aboutira à une situation optimale (au sens de Pareto).
     Prenons un exemple : un médecin décide d’agrandir son cabinet dans la court derrière son immeuble ; ce qu’il fait. Il dégage ainsi un profit additionnel de 80€ (plus de patient pris en charge). Mais, il se rend compte que son cabinet tout neuf est adossé à un atelier qui produit de la fumée, qui nuit à la santé des patients, et il commence à tous les perdre. Cet atelier fait un profit de 100€. Le médecin pourrait très bien aller voir le maire écolo de la ville et faire fermer l’atelier. Mais est-ce la solution la plus souhaitable ?
     Non. L’atelier et le médecin peuvent directement négocier. L’atelier a tout intérêt à verser au médecin la somme de 80 + 1 euros : dans ce cas, le médecin ferme son cabinet, ne va pas porter plainte, et fait quand même un profit de 80 euros + 1 euros, ses finances se portent donc encore mieux qu’auparavant. Quant à l’atelier, il fait un profit de 19 euros seulement, ce qui reste supérieur à 0 euros, son profit si le médecin fait fermer l’atelier. La libre négociation a mené à une situation optimale, sans autre intervention nécessaire, mais il y a une condition : que les coûts de négociation entre l’atelier et le médecin ne dépasse pas 20 euros, sinon il n’y a pas d’accord mutuellement bénéfique possible.
     Le théorème de Coase est extrêmement puissant, mais rarement applicable (mais il est toujours bon de l’avoir en tête), car les coûts de transaction peuvent être très élevés.
     Et c’est le cas avec l’exemple des électeurs : si l’on rassemble tous les électeurs de la ville dans une même pièce, les négociations portant sur une coordination des votes vont durer des heures voire des jours entiers : le nombre de participants est lui même à l’origine de difficultés contractuelles très importantes. Dans ce cas, il est hautement improbable que la négociation directe soit la meilleure solution. Une négociation concernant un nombre plus restreint de parties (par exemple entre les partis politiques nationaux et leurs responsables) a de bien meilleure chances d’aboutir à une solution optimale (le barrage).
    Dans les trois cas de figure, même le plus optimiste, on voit que l’argument ne tient pas. Mais bon, c’est sans doute trop demander de s’intéresser un tant soit peu aux recommandations de l’analyse économique.


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